Lös (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Lös ut r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Steg med lösningsformeln

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Addera 9 och 225 för att få 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Slå ihop 6r och 30r för att få 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Slå ihop r^{2} och r^{2} för att få 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Beräkna 18 upphöjt till 2 och få 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Subtrahera 324 från båda led.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Subtrahera 324 från 234 för att få -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 36 och c med -90 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera 36.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Addera 1296 till 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} när ± är plus. Addera -36 till 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Dela -36+12\sqrt{14} med 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} när ± är minus. Subtrahera 12\sqrt{14} från -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Dela -36-12\sqrt{14} med 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Ekvationen har lösts.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Addera 9 och 225 för att få 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Slå ihop 6r och 30r för att få 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Slå ihop r^{2} och r^{2} för att få 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Beräkna 18 upphöjt till 2 och få 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Subtrahera 234 från båda led.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Subtrahera 234 från 324 för att få 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Dela 36 med 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Dela 90 med 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Dividera 18, koefficienten för termen x, med 2 för att få 9. Addera sedan kvadraten av 9 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Kvadrera 9.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Addera 45 till 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Faktorisera r^{2}+18r+81. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Förenkla.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$