Lös x^2-x-5=6

$${ x }^{ 2 } -x-5 = 6$$

Lös ut x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 1}{2} \approx 3,854101966$$

$$x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}\approx -2,854101966$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-x-5=6$$

Subtrahera 6 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-x-5-6=6-6$$

Subtraktion av 6 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-x-5-6=0$$

Subtrahera 6 från -5.

$$x^{2}-x-11=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -1 och c med -11 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-11\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -11.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+44}}{2}$$

Addera 1 till 44.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 45.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2} när ± är plus. Addera 1 till 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±3\sqrt{5}}{2} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{5} från 1.

$$x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-5=6$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-x-5-\left(-5\right)=6-\left(-5\right)$$

Subtraktion av -5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-x=6-\left(-5\right)$$

Subtrahera -5 från 6.

$$x^{2}-x=11$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=11+\frac{1}{4}$$

Addera 11 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{45}{4}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-3\sqrt{5}}{2}$$