Lös sqrt{3x+1}-sqrt{x-1}-2=0

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { x - 1 } - 2 = 0$$

Lös ut x

$$x=5$$

$$x=1$$

Lösningssteg

Subtrahera -\sqrt{x-1}-2 från båda ekvationsled.

$$\sqrt{3x+1}=-\left(-\sqrt{x-1}-2\right)$$

Hitta motsatsen till -\sqrt{x-1}-2 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$\sqrt{3x+1}=-\left(-\sqrt{x-1}\right)-\left(-2\right)$$

Motsatsen till -\sqrt{x-1} är \sqrt{x-1}.

$$\sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}-\left(-2\right)$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$\sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}+2\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{3x+1} upphöjt till 2 och få 3x+1.

$$3x+1=\left(\sqrt{x-1}+2\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(\sqrt{x-1}+2\right)^{2}.

$$3x+1=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}+4\sqrt{x-1}+4$$

Beräkna \sqrt{x-1} upphöjt till 2 och få x-1.

$$3x+1=x-1+4\sqrt{x-1}+4$$

Addera -1 och 4 för att få 3.

$$3x+1=x+3+4\sqrt{x-1}$$

Subtrahera x+3 från båda ekvationsled.

$$3x+1-\left(x+3\right)=4\sqrt{x-1}$$

Hitta motsatsen till x+3 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$3x+1-x-3=4\sqrt{x-1}$$

Slå ihop 3x och -x för att få 2x.

$$2x+1-3=4\sqrt{x-1}$$

Subtrahera 3 från 1 för att få -2.

$$2x-2=4\sqrt{x-1}$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(2x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(2x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utveckla \left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Beräkna 4 upphöjt till 2 och få 16.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x-1} upphöjt till 2 och få x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(x-1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 16 med x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16x-16$$

Subtrahera 16x från båda led.

$$4x^{2}-8x+4-16x=-16$$

Slå ihop -8x och -16x för att få -24x.

$$4x^{2}-24x+4=-16$$

Lägg till 16 på båda sidorna.

$$4x^{2}-24x+4+16=0$$

Addera 4 och 16 för att få 20.

$$4x^{2}-24x+20=0$$

Dividera båda led med 4.

$$x^{2}-6x+5=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx+5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-6 ab=1\times 5=5$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=-5 b=-1$$

Skriv om x^{2}-6x+5 som \left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right)$$

Utfaktor x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Lös x-5=0 och x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=5 x=1$$

Ersätt x med 5 i ekvationen \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}-2=0.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{5-1}-2=0$$

Förenkla. Värdet x=5 uppfyller ekvationen.

$$0=0$$

Ersätt x med 1 i ekvationen \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}-2=0.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{1-1}-2=0$$

Förenkla. Värdet x=1 uppfyller ekvationen.

$$0=0$$

Lista alla lösningar på \sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2.

$$x=5 x=1$$