Lös sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Lös ut x

$$x=5$$

$$x=1$$

Lösningssteg

Subtrahera -\sqrt{2x-1} från båda ekvationsled.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{3x+1} upphöjt till 2 och få 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{2x-1} upphöjt till 2 och få 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Subtrahera 1 från 1 för att få 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Subtrahera 2x från båda ekvationsled.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Slå ihop 3x och -2x för att få x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utveckla \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Beräkna 2 upphöjt till 2 och få 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{2x-1} upphöjt till 2 och få 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 4 med 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Subtrahera 8x från båda led.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Slå ihop 2x och -8x för att få -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Lägg till 4 på båda sidorna.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Addera 1 och 4 för att få 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

För att lösa ekvationen, faktor x^{2}-6x+5 med hjälp av formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-6 ab=5$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=-5 b=-1$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(x+a\right)\left(x+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Lös x-5=0 och x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=5 x=1$$

Ersätt x med 5 i ekvationen \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Förenkla. Värdet x=5 uppfyller ekvationen.

$$1=1$$

Ersätt x med 1 i ekvationen \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Förenkla. Värdet x=1 uppfyller ekvationen.

$$1=1$$

Lista alla lösningar på \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$