Lös sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Lös ut x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Lösningssteg

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Addera 4 och 4 för att få 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} upphöjt till 2 och få x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Addera 4 och 16 för att få 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} upphöjt till 2 och få x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Slå ihop x^{2} och -x^{2} för att få 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Subtrahera 4x från båda led.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Slå ihop -4x och -4x för att få -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Subtrahera 8 från båda led.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Subtrahera 8 från 20 för att få 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Subtrahera y^{2} från båda led.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Slå ihop y^{2} och -y^{2} för att få 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Lägg till 4y på båda sidorna.

$$-8x=12-8y+4y$$

Slå ihop -8y och 4y för att få -4y.

$$-8x=12-4y$$

Dividera båda led med -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Division med -8 tar ut multiplikationen med -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Dela 12-4y med -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Ersätt x med \frac{y-3}{2} i ekvationen \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Förenkla. Värdet x=\frac{y-3}{2} uppfyller ekvationen.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ekvations \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} har en unik lösning.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Lös ut y

$$y=2x+3$$

Lösningssteg

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Addera 4 och 4 för att få 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} upphöjt till 2 och få x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Addera 4 och 16 för att få 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} upphöjt till 2 och få x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Subtrahera y^{2} från båda led.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Slå ihop y^{2} och -y^{2} för att få 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Lägg till 8y på båda sidorna.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Slå ihop -4y och 8y för att få 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Slå ihop x^{2} och -x^{2} för att få 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Lägg till 4x på båda sidorna.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Slå ihop 4x och 4x för att få 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Subtrahera 8 från båda led.

$$4y=8x+20-8$$

Subtrahera 8 från 20 för att få 12.

$$4y=8x+12$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Dela 8x+12 med 4.

$$y=2x+3$$

Ersätt y med 2x+3 i ekvationen \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Förenkla. Värdet y=2x+3 uppfyller ekvationen.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Ekvations \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} har en unik lösning.

$$y=2x+3$$