Lös quad9a^2-6a-1=0

$$\quad 9 a ^ { 2 } - 6 a - 1 = 0$$

Lös ut a

$$a=\frac{\sqrt{2}+1}{3}\approx 0,804737854$$

$$a=\frac{1-\sqrt{2}}{3}\approx -0,138071187$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9a^{2}-6a-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -6 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrera -6.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med -1.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+36}}{2\times 9}$$

Addera 36 till 36.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 72.

$$a=\frac{-\left(-6\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Motsatsen till -6 är 6.

$$a=\frac{6±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$a=\frac{6±6\sqrt{2}}{18}$$

Lös nu ekvationen a=\frac{6±6\sqrt{2}}{18} när ± är plus. Addera 6 till 6\sqrt{2}.

$$a=\frac{6\sqrt{2}+6}{18}$$

Dela 6+6\sqrt{2} med 18.

$$a=\frac{\sqrt{2}+1}{3}$$

Lös nu ekvationen a=\frac{6±6\sqrt{2}}{18} när ± är minus. Subtrahera 6\sqrt{2} från 6.

$$a=\frac{6-6\sqrt{2}}{18}$$

Dela 6-6\sqrt{2} med 18.

$$a=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$a=\frac{\sqrt{2}+1}{3} a=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}-6a-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$9a^{2}-6a-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9a^{2}-6a=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$9a^{2}-6a=1$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9a^{2}-6a}{9}=\frac{1}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$a^{2}+\left(-\frac{6}{9}\right)a=\frac{1}{9}$$

Minska bråktalet \frac{-6}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$a^{2}-\frac{2}{3}a=\frac{1}{9}$$

Dividera -\frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$a^{2}-\frac{2}{3}a+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$a^{2}-\frac{2}{3}a+\frac{1}{9}=\frac{1+1}{9}$$

Addera \frac{1}{9} till \frac{1}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$a^{2}-\frac{2}{3}a+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$$

Faktorisera a^{2}-\frac{2}{3}a+\frac{1}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(a-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(a-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Förenkla.

$$a-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} a-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Addera \frac{1}{3} till båda ekvationsled.

$$a=\frac{\sqrt{2}+1}{3} a=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$