Lös {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Lös ut x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$2x+y=3$$

Subtrahera y från båda ekvationsled.

$$2x=-y+3$$

Dividera båda led med 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Multiplicera \frac{1}{2} med -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Ersätt x med \frac{-y+3}{2} i den andra ekvationen, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Addera -\frac{y}{2} till y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Subtrahera \frac{3}{2} från båda ekvationsled.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Multiplicera båda led med 2.

$$y=7$$

Ersätt y med 7 i x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Multiplicera -\frac{1}{2} med 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till -\frac{7}{2} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=-2$$

Systemet har lösts.

$$x=-2,y=7$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=-2,y=7$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Subtrahera x+y=5 från 2x+y=3 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Addera y till -y. Termerna y och -y tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$2x-x=3-5$$

Addera 2x till -x.

$$x=3-5$$

Addera 3 till -5.

$$x=-2$$

Ersätt x med -2 i x+y=5. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$-2+y=5$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$y=7$$

Systemet har lösts.

$$x=-2,y=7$$