Lös ∫ (from 1 to 4) of left(-x+4/xright) wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 4 } \left( -x+ \frac{ 4 }{ x } \right) d x$$

Beräkna

$$8\ln(2)-\frac{15}{2}\approx -1,954822556$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int -x+\frac{4}{x}\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int -x\mathrm{d}x+\int \frac{4}{x}\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$-\int x\mathrm{d}x+4\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera -1 med \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{2}}{2}+4\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x$$

Använd \int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln(|x|) från tabellen vanliga integraler för att få resultatet.

$$-\frac{x^{2}}{2}+4\ln(|x|)$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$-\frac{4^{2}}{2}+4\ln(|4|)-\left(-\frac{1^{2}}{2}+4\ln(|1|)\right)$$

Förenkla.

$$-\frac{15}{2}+8\ln(2)$$