Lös ∫ (from 1 to 2) of 2x^2+3x-3 wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } 2 x ^ { 2 } + 3 x - 3 d x$$

Beräkna

$$\frac{37}{6}\approx 6,166666667$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int 2x^{2}+3x-3\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int 3x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$2\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{2}\mathrm{d}x med \frac{x^{3}}{3}. Multiplicera 2 med \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2x^{3}}{3}+3\int x\mathrm{d}x+\int -3\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x\mathrm{d}x med \frac{x^{2}}{2}. Multiplicera 3 med \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{2x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+\int -3\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av -3 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{2x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}-3x$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{2}{3}\times 2^{3}+\frac{3}{2}\times 2^{2}-3\times 2-\left(\frac{2}{3}\times 1^{3}+\frac{3}{2}\times 1^{2}-3\right)$$

Förenkla.

$$\frac{37}{6}$$