Lös ∫ (from 0 to 2 pi) of (cost+tsint)d(sint-tcost)

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( \cos t + t \sin t ) d ( \sin t - t \cos t )$$

Beräkna

$$2\pi d\left(-t\cos(t)+\sin(t)\right)\left(t\sin(t)+\cos(t)\right)$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int \left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right)\mathrm{d}x$$

Leta reda på integralen av \left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right) med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right)x$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$2\left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right)\pi +0\left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right)$$

Förenkla.

$$2\left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right)\pi$$

Derivera m.a.p. t

$$2\pi dt\left(\sin(t)\left(t\sin(t)+\cos(t)\right)+\cos(t)\left(-t\cos(t)+\sin(t)\right)\right)$$