Lös ∫ (from 0 to 1) of (x^18+18^x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( x ^ { 18 } + 18 ^ { x } ) d x$$

Beräkna

$$\frac{17}{\ln(18)}+\frac{1}{19}\approx 5,934227935$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int x^{18}+18^{x}\mathrm{d}x$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int x^{18}\mathrm{d}x+\int 18^{x}\mathrm{d}x$$

Sedan \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int x^{18}\mathrm{d}x med \frac{x^{19}}{19}.

$$\frac{x^{19}}{19}+\int 18^{x}\mathrm{d}x$$

Använd \int x^{k}\mathrm{d}k=\frac{x^{k}}{\ln(x)} från tabellen vanliga integraler för att få resultatet.

$$\frac{x^{19}}{19}+\frac{18^{x}}{\ln(18)}$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{1^{19}}{19}+18^{1}\ln(18)^{-1}-\left(\frac{0^{19}}{19}+18^{0}\ln(18)^{-1}\right)$$

Förenkla.

$$\frac{1}{19}+\frac{17}{\ln(18)}$$