Lös 1/x-1/x-2=3

$$\frac{ 1 }{ x } - \frac{ 1 }{ x-2 } =3$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1\approx 1,577350269$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1\approx 0,422649731$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena 0,2 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(x-2\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x-2.

$$x-2-x=3x\left(x-2\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3x med x-2.

$$x-2-x=3x^{2}-6x$$

Subtrahera 3x^{2} från båda led.

$$x-2-x-3x^{2}=-6x$$

Lägg till 6x på båda sidorna.

$$x-2-x-3x^{2}+6x=0$$

Slå ihop x och 6x för att få 7x.

$$7x-2-x-3x^{2}=0$$

Slå ihop 7x och -x för att få 6x.

$$6x-2-3x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}+6x-2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med 6 och c med -2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-24}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 36 till -24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{12}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur 12.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6} när ± är plus. Addera -6 till 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}-6}{-6}$$

Dela -6+2\sqrt{3} med -6.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{3} från -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}-6}{-6}$$

Dela -6-2\sqrt{3} med -6.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena 0,2 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(x-2\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x-2.

$$x-2-x=3x\left(x-2\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3x med x-2.

$$x-2-x=3x^{2}-6x$$

Subtrahera 3x^{2} från båda led.

$$x-2-x-3x^{2}=-6x$$

Lägg till 6x på båda sidorna.

$$x-2-x-3x^{2}+6x=0$$

Slå ihop x och 6x för att få 7x.

$$7x-2-x-3x^{2}=0$$

Lägg till 2 på båda sidorna. Noll plus något blir detta något.

$$7x-x-3x^{2}=2$$

Slå ihop 7x och -x för att få 6x.

$$6x-3x^{2}=2$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+6x=2$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}+6x}{-3}=\frac{2}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{6}{-3}x=\frac{2}{-3}$$

Dela 6 med -3.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{-3}$$

Dela 2 med -3.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{3}$$

Dividera -2, koefficienten för termen x, med 2 för att få -1. Addera sedan kvadraten av -1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{2}{3}+1$$

Addera -\frac{2}{3} till 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{3}$$

Faktorisera x^{2}-2x+1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{1}{3}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}}$$

Förenkla.

$$x-1=\frac{\sqrt{3}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$