Lös 1/x^3+2x^2-x-2-2/1-x=3/x+1

$$\frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -x-2 } - \frac{ 2 }{ 1-x } = \frac{ 3 }{ x+1 }$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{53} + 3}{2} \approx 5,140054945$$

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}\approx -2,140054945$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -2,-1,1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), den minsta gemensamma multipeln för x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Multiplicera -1 och 2 för att få -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -2 med 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -2-2x med 2+x och slå ihop lika termer.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Hitta motsatsen till -4-6x-2x^{2} genom att hitta motsatsen till varje term.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Addera 1 och 4 för att få 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-1 med x+2 och slå ihop lika termer.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x^{2}+x-2 med 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Subtrahera 3x^{2} från båda led.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Slå ihop 2x^{2} och -3x^{2} för att få -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Subtrahera 3x från båda led.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Slå ihop 6x och -3x för att få 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Lägg till 6 på båda sidorna.

$$5+3x-x^{2}+6=0$$

Addera 5 och 6 för att få 11.

$$11+3x-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+3x+11=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 3 och c med 11 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 9 till 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} när ± är plus. Addera -3 till \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{-2}$$

Dela -3+\sqrt{53} med -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{53} från -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{-2}$$

Dela -3-\sqrt{53} med -2.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2} x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -2,-1,1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), den minsta gemensamma multipeln för x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Multiplicera -1 och 2 för att få -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -2 med 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -2-2x med 2+x och slå ihop lika termer.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Hitta motsatsen till -4-6x-2x^{2} genom att hitta motsatsen till varje term.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Addera 1 och 4 för att få 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-1 med x+2 och slå ihop lika termer.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x^{2}+x-2 med 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Subtrahera 3x^{2} från båda led.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Slå ihop 2x^{2} och -3x^{2} för att få -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Subtrahera 3x från båda led.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Slå ihop 6x och -3x för att få 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Subtrahera 5 från båda led.

$$3x-x^{2}=-6-5$$

Subtrahera 5 från -6 för att få -11.

$$3x-x^{2}=-11$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-11$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Dela 3 med -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{11}{-1}$$

Dela -11 med -1.

$$x^{2}-3x=11$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Addera 11 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Faktorisera x^{2}-3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$