Lös x/x^2+x+1*1/1-x

$$\frac { x } { x ^ { 2 } + x + 1 } \cdot \frac { 1 } { 1 - x }$$

Beräkna

$$\frac{x}{1-x^{3}}$$

Steg för kort lösning

Multiplicera \frac{x}{x^{2}+x+1} med \frac{1}{1-x} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare.

$$\frac{x}{\left(x^{2}+x+1\right)\left(1-x\right)}$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x^{2}+x+1 med 1-x och slå ihop lika termer.

$$\frac{x}{-x^{3}+1}$$

Derivera m.a.p. x

$$\frac{2x^{3}+1}{\left(x^{3}-1\right)^{2}}$$

Steg med deriveringsregeln för kvot

Multiplicera \frac{x}{x^{2}+x+1} med \frac{1}{1-x} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x}{\left(x^{2}+x+1\right)\left(1-x\right)})$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x^{2}+x+1 med 1-x och slå ihop lika termer.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x}{-x^{3}+1})$$

För två differentierbara funktioner är derivatan av kvoten av de två funktionerna nämnaren multiplicerat med täljarens derivata minus täljaren multiplicerat med nämnarens derivata, allt dividerat med nämnaren i kvadrat.

$$\frac{\left(-x^{3}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1})-x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-x^{3}+1)}{\left(-x^{3}+1\right)^{2}}$$

Derivatan av ett polynom är lika med summan av derivatorna av polynomets termer. Derivatan för en konstant term är 0. Derivatan av ax^{n} är nax^{n-1}.

$$\frac{\left(-x^{3}+1\right)x^{1-1}-x^{1}\times 3\left(-1\right)x^{3-1}}{\left(-x^{3}+1\right)^{2}}$$

Utför beräkningen.

$$\frac{\left(-x^{3}+1\right)x^{0}-x^{1}\left(-3\right)x^{2}}{\left(-x^{3}+1\right)^{2}}$$

Utveckla med hjälp av distributiv egenskap.

$$\frac{-x^{3}x^{0}+x^{0}-x^{1}\left(-3\right)x^{2}}{\left(-x^{3}+1\right)^{2}}$$

Du multiplicerar potenser med samma bas genom att addera deras exponenter.

$$\frac{-x^{3}+x^{0}-\left(-3x^{1+2}\right)}{\left(-x^{3}+1\right)^{2}}$$

Utför beräkningen.

$$\frac{-x^{3}+x^{0}-\left(-3x^{3}\right)}{\left(-x^{3}+1\right)^{2}}$$

Slå ihop lika termer.

$$\frac{\left(-1-\left(-3\right)\right)x^{3}+x^{0}}{\left(-x^{3}+1\right)^{2}}$$

Subtrahera -3 från -1.

$$\frac{2x^{3}+x^{0}}{\left(-x^{3}+1\right)^{2}}$$

För alla termer t utom 0, t^{0}=1.

$$\frac{2x^{3}+1}{\left(-x^{3}+1\right)^{2}}$$