Lös x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

Lös ut x

$$x=2$$

$$x=-2$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}, den minsta gemensamma multipeln för \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x^{2}+2x+1 med x^{3}-1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x^{2}-2x+1 med x^{3}+1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Hitta motsatsen till x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Slå ihop x^{5} och -x^{5} för att få 0.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Slå ihop -x^{2} och -x^{2} för att få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Slå ihop 2x^{4} och 2x^{4} för att få 4x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Slå ihop -2x och 2x för att få 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Slå ihop x^{3} och -x^{3} för att få 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Subtrahera 1 från -1 för att få -2.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(x-1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(x+1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 6 med x^{2}-2x+1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 6x^{2}-12x+6 med x^{2}+2x+1 och slå ihop lika termer.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

Subtrahera 6x^{4} från båda led.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

Slå ihop 4x^{4} och -6x^{4} för att få -2x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

Lägg till 12x^{2} på båda sidorna.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

Slå ihop -2x^{2} och 12x^{2} för att få 10x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

Subtrahera 6 från båda led.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

Subtrahera 6 från -2 för att få -8.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

Ersätt x^{2} med t.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt -2 med a, 10 med b och -8 med c i lösningsformeln.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

Gör beräkningarna.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

Lös ekvationen t=\frac{-10±6}{-4} när ± är plus och när ± är minus.

$$t=1 t=4$$

Sedan x=t^{2} fås lösningarna genom att utvärdera x=±\sqrt{t} för varje t.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena 1,-1.

$$x=-2 x=2$$