Lös x^2+5/25-x^2=3/x+5+x/x-5

$$\frac { x ^ { 2 } + 5 } { 25 - x ^ { 2 } } = \frac { 3 } { x + 5 } + \frac { x } { x - 5 }$$

Lös ut x

$$x=1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -5,5 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-5\right)\left(x+5\right), den minsta gemensamma multipeln för 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Hitta motsatsen till x^{2}+5 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-5 med 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+5 med x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Slå ihop 3x och 5x för att få 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Subtrahera 8x från båda led.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Subtrahera -15 från båda led.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

Motsatsen till -15 är 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

Addera -5 och 15 för att få 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

Slå ihop -x^{2} och -x^{2} för att få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Dividera båda led med 2.

$$-x^{2}+5-4x=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-x^{2}-4x+5=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx+5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-4 ab=-5=-5$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=1 b=-5$$

Skriv om -x^{2}-4x+5 som \left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Utfaktor x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen -x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(-x+1\right)\left(x+5\right)$$

Lös -x+1=0 och x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=-5$$

Variabeln x får inte vara lika med -5.

$$x=1$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -5,5 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-5\right)\left(x+5\right), den minsta gemensamma multipeln för 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Hitta motsatsen till x^{2}+5 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-5 med 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+5 med x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Slå ihop 3x och 5x för att få 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Subtrahera 8x från båda led.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Subtrahera -15 från båda led.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

Motsatsen till -15 är 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

Addera -5 och 15 för att få 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

Slå ihop -x^{2} och -x^{2} för att få -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-2x^{2}-8x+10=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -2, b med -8 och c med 10 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrera -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera -4 med -2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+8\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 8 med 10.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\left(-2\right)}$$

Addera 64 till 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\left(-2\right)}$$

Dra kvadratroten ur 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\left(-2\right)}$$

Motsatsen till -8 är 8.

$$x=\frac{8±12}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 2 med -2.

$$x=\frac{8±12}{-4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±12}{-4} när ± är plus. Addera 8 till 12.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Dela 20 med -4.

$$x=-5$$

Lös nu ekvationen x=\frac{8±12}{-4} när ± är minus. Subtrahera 12 från 8.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Dela -4 med -4.

$$x=1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-5 x=1$$

Variabeln x får inte vara lika med -5.

$$x=1$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -5,5 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-5\right)\left(x+5\right), den minsta gemensamma multipeln för 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Hitta motsatsen till x^{2}+5 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-5 med 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+5 med x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Slå ihop 3x och 5x för att få 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Subtrahera 8x från båda led.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$-x^{2}-5-8x-x^{2}=-15$$

Slå ihop -x^{2} och -x^{2} för att få -2x^{2}.

$$-2x^{2}-5-8x=-15$$

Lägg till 5 på båda sidorna.

$$-2x^{2}-8x=-15+5$$

Addera -15 och 5 för att få -10.

$$-2x^{2}-8x=-10$$

Dividera båda led med -2.

$$\frac{-2x^{2}-8x}{-2}=-\frac{10}{-2}$$

Division med -2 tar ut multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-2}\right)x=-\frac{10}{-2}$$

Dela -8 med -2.

$$x^{2}+4x=-\frac{10}{-2}$$

Dela -10 med -2.

$$x^{2}+4x=5$$

Dividera 4, koefficienten för termen x, med 2 för att få 2. Addera sedan kvadraten av 2 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+4x+2^{2}=5+2^{2}$$

Kvadrera 2.

$$x^{2}+4x+4=5+4$$

Addera 5 till 4.

$$x^{2}+4x+4=9$$

Faktorisera x^{2}+4x+4. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+2\right)^{2}=9$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Förenkla.

$$x+2=3 x+2=-3$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$x=1 x=-5$$

Variabeln x får inte vara lika med -5.

$$x=1$$