Lös 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Lös ut x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -6,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(x+6\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+6 med 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Slå ihop 2x och x\times 15 för att få 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtrahera 6x från båda led.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Slå ihop 17x och -6x för att få 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx+12. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 11.

$$a=12 b=-1$$

Skriv om -x^{2}+11x+12 som \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Utfaktor -x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-12 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Lös x-12=0 och -x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=12 x=-1$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -6,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(x+6\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+6 med 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Slå ihop 2x och x\times 15 för att få 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtrahera 6x från båda led.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Slå ihop 17x och -6x för att få 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 11 och c med 12 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 121 till 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±13}{-2} när ± är plus. Addera -11 till 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Dela 2 med -2.

$$x=-1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-11±13}{-2} när ± är minus. Subtrahera 13 från -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Dela -24 med -2.

$$x=12$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-1 x=12$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -6,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(x+6\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+6 med 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Slå ihop 2x och x\times 15 för att få 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtrahera 6x från båda led.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Slå ihop 17x och -6x för att få 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Subtrahera 12 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$11x-x^{2}=-12$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Dela 11 med -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Dela -12 med -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Dividera -11, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{11}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{11}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{11}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Addera 12 till \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktorisera x^{2}-11x+\frac{121}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Addera \frac{11}{2} till båda ekvationsled.

$$x=12 x=-1$$