Lös 1/n-1/n+1

$$\frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$$

Beräkna

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Steg för kort lösning

Om du vill addera eller subtrahera uttryck expanderar du dem för att göra deras nämnare samma. Minsta gemensamma multipel av n och n+1 är n\left(n+1\right). Multiplicera \frac{1}{n} med \frac{n+1}{n+1}. Multiplicera \frac{1}{n+1} med \frac{n}{n}.

$$\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}$$

Eftersom \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} och \frac{n}{n\left(n+1\right)} har samma nämnare subtraherar du dem genom att subtrahera deras täljare.

$$\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}$$

Kombinera lika termer i n+1-n.

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Utveckla n\left(n+1\right).

$$\frac{1}{n^{2}+n}$$

Derivera m.a.p. n

$$-\frac{2n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}$$

Steg med kedjeregeln

Om du vill addera eller subtrahera uttryck expanderar du dem för att göra deras nämnare samma. Minsta gemensamma multipel av n och n+1 är n\left(n+1\right). Multiplicera \frac{1}{n} med \frac{n+1}{n+1}. Multiplicera \frac{1}{n+1} med \frac{n}{n}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)})$$

Eftersom \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} och \frac{n}{n\left(n+1\right)} har samma nämnare subtraherar du dem genom att subtrahera deras täljare.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)})$$

Kombinera lika termer i n+1-n.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n\left(n+1\right)})$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera n med n+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n^{2}+n})$$

Om F är sammansatt av två differentierbara funktioner f\left(u\right) och u=g\left(x\right), d.v.s. om F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), är derivatan av F derivatan av f med avseende på u multiplicerat med derivatan av g med avseende på x, d.v.s. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(n^{2}+n^{1})$$

Derivatan av ett polynom är lika med summan av derivatorna av polynomets termer. Derivatan för en konstant term är 0. Derivatan av ax^{n} är nax^{n-1}.

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(2n^{2-1}+n^{1-1}\right)$$

Förenkla.

$$\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(-2n^{1}-n^{0}\right)$$

För alla termer t, t^{1}=t.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-n^{0}\right)$$

För alla termer t utom 0, t^{0}=1.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-1\right)$$