Lös 1/3x^2+6x=9

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 6 x = 9$$

Lös ut x

$$x=6\sqrt{3}-9\approx 1,392304845$$

$$x=-6\sqrt{3}-9\approx -19,392304845$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=9-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med \frac{1}{3}, b med 6 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Kvadrera 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicera -4 med \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-\frac{4}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicera -\frac{4}{3} med -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Addera 36 till 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{48}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Dra kvadratroten ur 48.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicera 2 med \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} när ± är plus. Addera -6 till 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Dela -6+4\sqrt{3} med \frac{2}{3} genom att multiplicera -6+4\sqrt{3} med reciproken till \frac{2}{3}.

$$x=6\sqrt{3}-9$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} när ± är minus. Subtrahera 4\sqrt{3} från -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Dela -6-4\sqrt{3} med \frac{2}{3} genom att multiplicera -6-4\sqrt{3} med reciproken till \frac{2}{3}.

$$x=-6\sqrt{3}-9$$

Ekvationen har lösts.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Multiplicera båda led med 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+6x}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Division med \frac{1}{3} tar ut multiplikationen med \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{6}{\frac{1}{3}}x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Dela 6 med \frac{1}{3} genom att multiplicera 6 med reciproken till \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Dela 9 med \frac{1}{3} genom att multiplicera 9 med reciproken till \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=27$$

Dividera 18, koefficienten för termen x, med 2 för att få 9. Addera sedan kvadraten av 9 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+18x+9^{2}=27+9^{2}$$

Kvadrera 9.

$$x^{2}+18x+81=27+81$$

Addera 27 till 81.

$$x^{2}+18x+81=108$$

Faktorisera x^{2}+18x+81. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+9\right)^{2}=108$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{108}$$

Förenkla.

$$x+9=6\sqrt{3} x+9=-6\sqrt{3}$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$