Lös 1/15x^2-3/10x+1/3=0

$$\frac { 1 } { 15 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 10 } x + \frac { 1 } { 3 } = 0$$

Lös ut x

$$x=2$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med \frac{1}{15}, b med -\frac{3}{10} och c med \frac{1}{3} i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Kvadrera -\frac{3}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Multiplicera -4 med \frac{1}{15}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Multiplicera -\frac{4}{15} med \frac{1}{3} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{45}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Addera \frac{9}{100} till -\frac{4}{45} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{1}{900}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Dra kvadratroten ur \frac{1}{900}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Motsatsen till -\frac{3}{10} är \frac{3}{10}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

Multiplicera 2 med \frac{1}{15}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}} när ± är plus. Addera \frac{3}{10} till \frac{1}{30} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{15}}$$

Dela \frac{1}{3} med \frac{2}{15} genom att multiplicera \frac{1}{3} med reciproken till \frac{2}{15}.

$$x=\frac{5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}} när ± är minus. Subtrahera \frac{1}{30} från \frac{3}{10} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan subtrahera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{15}}$$

Dela \frac{4}{15} med \frac{2}{15} genom att multiplicera \frac{4}{15} med reciproken till \frac{2}{15}.

$$x=2$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

Subtrahera \frac{1}{3} från båda ekvationsled.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$$

Subtraktion av \frac{1}{3} från sig självt ger 0 som resultat.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x=-\frac{1}{3}$$

Multiplicera båda led med 15.

$$\frac{\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x}{\frac{1}{15}}=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Division med \frac{1}{15} tar ut multiplikationen med \frac{1}{15}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}}\right)x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Dela -\frac{3}{10} med \frac{1}{15} genom att multiplicera -\frac{3}{10} med reciproken till \frac{1}{15}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

Dela -\frac{1}{3} med \frac{1}{15} genom att multiplicera -\frac{1}{3} med reciproken till \frac{1}{15}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-5$$

Dividera -\frac{9}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{9}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{9}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{9}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-5+\frac{81}{16}$$

Addera -5 till \frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}$$

Addera \frac{9}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$