Lös frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Lös ut b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Steg för lösning av en linjär ekvation

Rationalisera nämnaren i \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} genom att multiplicera täljare och nämnare med \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Överväg \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadrera \sqrt{3}. Kvadrera 1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

Subtrahera 1 från 3 för att få 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Multiplicera \sqrt{3}-1 och \sqrt{3}-1 för att få \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Addera 3 och 1 för att få 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Dividera varje term av 4-2\sqrt{3} med 2 för att få 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Subtrahera a från båda led.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

Ekvationen är på standardform.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Dividera båda led med \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Division med \sqrt{3} tar ut multiplikationen med \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Dela -\sqrt{3}-a+2 med \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Lös ut a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$