Lös frac{sqrt{10}+sqrt{15}}{sqrt{2}+sqrt{3}}

$$\frac { \sqrt { 10 } + \sqrt { 15 } } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } }$$

Beräkna

$$\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

Lösningssteg

Rationalisera nämnaren i \frac{\sqrt{10}+\sqrt{15}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} genom att multiplicera täljare och nämnare med \sqrt{2}-\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}$$

Överväg \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrera \sqrt{2}. Kvadrera \sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{2-3}$$

Subtrahera 3 från 2 för att få -1.

$$\frac{\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{-1}$$

Något som delas med -1 ger sin motsats.

$$-\left(\sqrt{10}+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen genom att multiplicera varje term av \sqrt{10}+\sqrt{15} med varje term av \sqrt{2}-\sqrt{3}.

$$-\left(\sqrt{10}\sqrt{2}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Faktorisera 10=2\times 5. Skriv om kvadratroten av produkt \sqrt{2\times 5} som produkten av fyrkantiga rötter \sqrt{2}\sqrt{5}.

$$-\left(\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Multiplicera \sqrt{2} och \sqrt{2} för att få 2.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{10}\sqrt{3}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Om du vill multiplicera \sqrt{10} och \sqrt{3} multiplicerar du numren under kvadratroten.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{30}+\sqrt{15}\sqrt{2}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Om du vill multiplicera \sqrt{15} och \sqrt{2} multiplicerar du numren under kvadratroten.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{30}+\sqrt{30}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Slå ihop -\sqrt{30} och \sqrt{30} för att få 0.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{15}\sqrt{3}\right)$$

Faktorisera 15=3\times 5. Skriv om kvadratroten av produkt \sqrt{3\times 5} som produkten av fyrkantiga rötter \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$-\left(2\sqrt{5}-\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{3}\right)$$

Multiplicera \sqrt{3} och \sqrt{3} för att få 3.

$$-\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{5}\right)$$

Slå ihop 2\sqrt{5} och -3\sqrt{5} för att få -\sqrt{5}.

$$-\left(-\sqrt{5}\right)$$

Motsatsen till -\sqrt{5} är \sqrt{5}.

$$\sqrt{5}$$