Lös cosh

$$\cos h$$

Derivera m.a.p. h

$$-\sin(h)$$

Steg med definitionen av derivata

För en funktion, f\left(x\right), är derivatan gränsvärdet för \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} då h går mot 0, om gränsvärdet existerar.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\cos(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(h+t)-\cos(h)}{t}\right)$$

Använd additionsformeln för cosinus.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t+h)-\cos(h)}{t}$$

Bryt ut \cos(h).

$$\lim_{t\to 0}\frac{\cos(h)\left(\cos(t)-1\right)-\sin(h)\sin(t)}{t}$$

Skriv om gränsvärdet.

$$\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Använd det faktum att h är en konstant vid beräkning av gränsvärden när t går mot 0.

$$\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Gränsvärdet för \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} är 1.

$$\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\sin(h)$$

Du beräknar gränsvärdet \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t} genom att först multiplicera täljare och nämnare med \cos(t)+1.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

Multiplicera \cos(t)+1 med \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Använd trigonometriska ettan.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Skriv om gränsvärdet.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Gränsvärdet för \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} är 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Använd det faktum att \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} är kontinuerlig vid 0.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

Sätt in värdet 0 i uttrycket \cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\sin(h).

$$-\sin(h)$$

Beräkna

$$\cos(h)$$