Lös +(1+5x)(100-x)=10

$$+ ( 1 + 5 x ) ( 100 - x ) = 10$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{250801} + 499}{10} \approx 99,980035942$$

$$x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10}\approx -0,180035942$$

Steg med lösningsformeln

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 1+5x med 100-x och slå ihop lika termer.

$$100+499x-5x^{2}=10$$

Subtrahera 10 från båda led.

$$100+499x-5x^{2}-10=0$$

Subtrahera 10 från 100 för att få 90.

$$90+499x-5x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-5x^{2}+499x+90=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -5, b med 499 och c med 90 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-499±\sqrt{499^{2}-4\left(-5\right)\times 90}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrera 499.

$$x=\frac{-499±\sqrt{249001-4\left(-5\right)\times 90}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera -4 med -5.

$$x=\frac{-499±\sqrt{249001+20\times 90}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 20 med 90.

$$x=\frac{-499±\sqrt{249001+1800}}{2\left(-5\right)}$$

Addera 249001 till 1800.

$$x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicera 2 med -5.

$$x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{-10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{-10} när ± är plus. Addera -499 till \sqrt{250801}.

$$x=\frac{\sqrt{250801}-499}{-10}$$

Dela -499+\sqrt{250801} med -10.

$$x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-499±\sqrt{250801}}{-10} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{250801} från -499.

$$x=\frac{-\sqrt{250801}-499}{-10}$$

Dela -499-\sqrt{250801} med -10.

$$x=\frac{\sqrt{250801}+499}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10} x=\frac{\sqrt{250801}+499}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 1+5x med 100-x och slå ihop lika termer.

$$100+499x-5x^{2}=10$$

Subtrahera 100 från båda led.

$$499x-5x^{2}=10-100$$

Subtrahera 100 från 10 för att få -90.

$$499x-5x^{2}=-90$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+499x=-90$$

Dividera båda led med -5.

$$\frac{-5x^{2}+499x}{-5}=-\frac{90}{-5}$$

Division med -5 tar ut multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{499}{-5}x=-\frac{90}{-5}$$

Dela 499 med -5.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x=-\frac{90}{-5}$$

Dela -90 med -5.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x=18$$

Dividera -\frac{499}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{499}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{499}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x+\left(-\frac{499}{10}\right)^{2}=18+\left(-\frac{499}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{499}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x+\frac{249001}{100}=18+\frac{249001}{100}$$

Addera 18 till \frac{249001}{100}.

$$x^{2}-\frac{499}{5}x+\frac{249001}{100}=\frac{250801}{100}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{499}{5}x+\frac{249001}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{499}{10}\right)^{2}=\frac{250801}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{499}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{250801}{100}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{499}{10}=\frac{\sqrt{250801}}{10} x-\frac{499}{10}=-\frac{\sqrt{250801}}{10}$$

Addera \frac{499}{10} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{250801}+499}{10} x=\frac{499-\sqrt{250801}}{10}$$