Zgjidh x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Gjej x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo x^{2}+31x-360 me anë të formulës x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=31 ab=-360$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 31.

$$a=-9 b=40$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(x+a\right)\left(x+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-9=0 dhe x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx-360. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 31.

$$a=-9 b=40$$

Rishkruaj x^{2}+31x-360 si \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 40 në të dytin.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-9 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-9=0 dhe x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me 31 dhe c me -360 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë 31.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Shumëzo -4 herë -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Mblidh 961 me 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-31±49}{2} kur ± është plus. Mblidh -31 me 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Pjesëto 18 me 2.

$$x=9$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-31±49}{2} kur ± është minus. Zbrit 49 nga -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Pjesëto -80 me 2.

$$x=-40$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=9 x=-40$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Mblidh 360 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Zbritja e -360 nga vetja e tij jep 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Zbrit -360 nga 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Pjesëto 31, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{31}{2}. Më pas mblidh katrorin e \frac{31}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{31}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Mblidh 360 me \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Faktori x^{2}+31x+\frac{961}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Zbrit \frac{31}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=9 x=-40$$