Zgjidh n^2-n=240

$$n ^ { 2 } - n = 240$$

Gjej n

$$n=-15$$

$$n=16$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Zbrit 240 nga të dyja anët.

$$n^{2}-n-240=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo n^{2}-n-240 me anë të formulës n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-1 ab=-240$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -1.

$$a=-16 b=15$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(n+a\right)\left(n+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-16=0 dhe n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 240 nga të dyja anët.

$$n^{2}-n-240=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si n^{2}+an+bn-240. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -1.

$$a=-16 b=15$$

Rishkruaj n^{2}-n-240 si \left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right).

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)$$

Faktorizo n në grupin e parë dhe 15 në të dytin.

$$n\left(n-16\right)+15\left(n-16\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët n-16 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-16=0 dhe n+15=0.

$$n=16 n=-15$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$n^{2}-n=240$$

Zbrit 240 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$n^{2}-n-240=240-240$$

Zbritja e 240 nga vetja e tij jep 0.

$$n^{2}-n-240=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -1 dhe c me -240 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

Shumëzo -4 herë -240.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

Mblidh 1 me 960.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 961.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

E kundërta e -1 është 1.

$$n=\frac{1±31}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{1±31}{2} kur ± është plus. Mblidh 1 me 31.

$$n=\frac{32}{2}$$

Pjesëto 32 me 2.

$$n=16$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{1±31}{2} kur ± është minus. Zbrit 31 nga 1.

$$n=-\frac{30}{2}$$

Pjesëto -30 me 2.

$$n=-15$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=16 n=-15$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n=240$$

Pjesëto -1, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

Mblidh 240 me \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

Faktori n^{2}-n+\frac{1}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Thjeshto.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

Mblidh \frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$n=16 n=-15$$