Zgjidh 9y^2+75y-54

$$9 y ^ { 2 } + 75 y - 54$$

Faktorizo

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo 3.

$$3\left(3y^{2}+25y-18\right)$$

Merr parasysh 3y^{2}+25y-18. Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 3y^{2}+ay+by-18. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=25 ab=3\left(-18\right)=-54$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -54.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 25.

$$a=-2 b=27$$

Rishkruaj 3y^{2}+25y-18 si \left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right).

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right)$$

Faktorizo y në grupin e parë dhe 9 në të dytin.

$$y\left(3y-2\right)+9\left(3y-2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3y-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Rishkruaj shprehjen e plotë të faktorizuar.

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}+75y-54=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$y=\frac{-75±\sqrt{75^{2}-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Ngri në fuqi të dytë 75.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Shumëzo -4 herë 9.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-36\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Shumëzo -36 herë -54.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625+1944}}{2\times 9}$$

Mblidh 5625 me 1944.

$$y=\frac{-75±\sqrt{7569}}{2\times 9}$$

Gjej rrënjën katrore të 7569.

$$y=\frac{-75±87}{2\times 9}$$

Shumëzo 2 herë 9.

$$y=\frac{-75±87}{18}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-75±87}{18} kur ± është plus. Mblidh -75 me 87.

$$y=\frac{12}{18}$$

Thjeshto thyesën \frac{12}{18} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-75±87}{18} kur ± është minus. Zbrit 87 nga -75.

$$y=-\frac{162}{18}$$

Pjesëto -162 me 18.

$$y=-9$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{2}{3} për x_{1} dhe -9 për x_{2}.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-9\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+9\right)$$

Zbrit \frac{2}{3} nga y duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$9y^{2}+75y-54=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y+9\right)$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 3 në 9 dhe 3.

$$9y^{2}+75y-54=3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Vlerëso

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$