Zgjidh 9x^2-19x-24=0

$$9 x ^ { 2 } - 19 x - 24 = 0$$

Gjej x

$$x=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

$$x=3$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 9x^{2}+ax+bx-24. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -19.

$$a=-27 b=8$$

Rishkruaj 9x^{2}-19x-24 si \left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)$$

Faktorizo 9x në grupin e parë dhe 8 në të dytin.

$$9x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-3\right)\left(9x+8\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-3=0 dhe 9x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 9, b me -19 dhe c me -24 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Ngri në fuqi të dytë -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Shumëzo -4 herë 9.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Shumëzo -36 herë -24.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

Mblidh 361 me 864.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

Gjej rrënjën katrore të 1225.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

E kundërta e -19 është 19.

$$x=\frac{19±35}{2\times 9}$$

Shumëzo 2 herë 9.

$$x=\frac{19±35}{18}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{19±35}{18} kur ± është plus. Mblidh 19 me 35.

$$x=\frac{54}{18}$$

Pjesëto 54 me 18.

$$x=3$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{19±35}{18} kur ± është minus. Zbrit 35 nga 19.

$$x=-\frac{16}{18}$$

Thjeshto thyesën \frac{-16}{18} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{8}{9}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Mblidh 24 në të dyja anët e ekuacionit.

$$9x^{2}-19x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Zbritja e -24 nga vetja e tij jep 0.

$$9x^{2}-19x=-\left(-24\right)$$

Zbrit -24 nga 0.

$$9x^{2}-19x=24$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$\frac{9x^{2}-19x}{9}=\frac{24}{9}$$

Pjesëtimi me 9 zhbën shumëzimin me 9.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{24}{9}$$

Thjeshto thyesën \frac{24}{9} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 3.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{8}{3}$$

Pjesëto -\frac{19}{9}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{19}{18}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{19}{18} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{19}{18} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

Mblidh \frac{8}{3} me \frac{361}{324} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

Faktori x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} x-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

Mblidh \frac{19}{18} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$