Zgjidh 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3.714285714$$

$$x=3$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 7x^{2}+ax+bx-78. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -546.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 5.

$$a=-21 b=26$$

Rishkruaj 7x^{2}+5x-78 si \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Faktorizo 7x në grupin e parë dhe 26 në të dytin.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-3=0 dhe 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 7, b me 5 dhe c me -78 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Ngri në fuqi të dytë 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Shumëzo -4 herë 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Shumëzo -28 herë -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Mblidh 25 me 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Gjej rrënjën katrore të 2209.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Shumëzo 2 herë 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-5±47}{14} kur ± është plus. Mblidh -5 me 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Pjesëto 42 me 14.

$$x=3$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-5±47}{14} kur ± është minus. Zbrit 47 nga -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Thjeshto thyesën \frac{-52}{14} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Mblidh 78 në të dyja anët e ekuacionit.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

Zbritja e -78 nga vetja e tij jep 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Zbrit -78 nga 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

Pjesëtimi me 7 zhbën shumëzimin me 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Pjesëto \frac{5}{7}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{5}{14}. Më pas mblidh katrorin e \frac{5}{14} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{5}{14} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Mblidh \frac{78}{7} me \frac{25}{196} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Faktori x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Zbrit \frac{5}{14} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$