Zgjidh 7p^2-38p-24=0

$$7 p ^ { 2 } - 38 p - 24 = 0$$

Gjej p

$$p=-\frac{4}{7}\approx -0.571428571$$

$$p=6$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 7p^{2}+ap+bp-24. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-38 ab=7\left(-24\right)=-168$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -38.

$$a=-42 b=4$$

Rishkruaj 7p^{2}-38p-24 si \left(7p^{2}-42p\right)+\left(4p-24\right).

$$\left(7p^{2}-42p\right)+\left(4p-24\right)$$

Faktorizo 7p në grupin e parë dhe 4 në të dytin.

$$7p\left(p-6\right)+4\left(p-6\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët p-6 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(p-6\right)\left(7p+4\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh p-6=0 dhe 7p+4=0.

$$p=6 p=-\frac{4}{7}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$7p^{2}-38p-24=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 7, b me -38 dhe c me -24 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 7\left(-24\right)}}{2\times 7}$$

Ngri në fuqi të dytë -38.

$$p=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 7\left(-24\right)}}{2\times 7}$$

Shumëzo -4 herë 7.

$$p=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-28\left(-24\right)}}{2\times 7}$$

Shumëzo -28 herë -24.

$$p=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+672}}{2\times 7}$$

Mblidh 1444 me 672.

$$p=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{2116}}{2\times 7}$$

Gjej rrënjën katrore të 2116.

$$p=\frac{-\left(-38\right)±46}{2\times 7}$$

E kundërta e -38 është 38.

$$p=\frac{38±46}{2\times 7}$$

Shumëzo 2 herë 7.

$$p=\frac{38±46}{14}$$

Tani zgjidhe ekuacionin p=\frac{38±46}{14} kur ± është plus. Mblidh 38 me 46.

$$p=\frac{84}{14}$$

Pjesëto 84 me 14.

$$p=6$$

Tani zgjidhe ekuacionin p=\frac{38±46}{14} kur ± është minus. Zbrit 46 nga 38.

$$p=-\frac{8}{14}$$

Thjeshto thyesën \frac{-8}{14} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$p=-\frac{4}{7}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$p=6 p=-\frac{4}{7}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$7p^{2}-38p-24=0$$

Mblidh 24 në të dyja anët e ekuacionit.

$$7p^{2}-38p-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Zbritja e -24 nga vetja e tij jep 0.

$$7p^{2}-38p=-\left(-24\right)$$

Zbrit -24 nga 0.

$$7p^{2}-38p=24$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$\frac{7p^{2}-38p}{7}=\frac{24}{7}$$

Pjesëtimi me 7 zhbën shumëzimin me 7.

$$p^{2}-\frac{38}{7}p=\frac{24}{7}$$

Pjesëto -\frac{38}{7}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{19}{7}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{19}{7} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$p^{2}-\frac{38}{7}p+\left(-\frac{19}{7}\right)^{2}=\frac{24}{7}+\left(-\frac{19}{7}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{19}{7} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$p^{2}-\frac{38}{7}p+\frac{361}{49}=\frac{24}{7}+\frac{361}{49}$$

Mblidh \frac{24}{7} me \frac{361}{49} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$p^{2}-\frac{38}{7}p+\frac{361}{49}=\frac{529}{49}$$

Faktori p^{2}-\frac{38}{7}p+\frac{361}{49}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{19}{7}\right)^{2}=\frac{529}{49}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(p-\frac{19}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{49}}$$

Thjeshto.

$$p-\frac{19}{7}=\frac{23}{7} p-\frac{19}{7}=-\frac{23}{7}$$

Mblidh \frac{19}{7} në të dyja anët e ekuacionit.

$$p=6 p=-\frac{4}{7}$$