Zgjidh 6y^2+5y-25

$$6 y ^ { 2 } + 5 y - 25$$

Faktorizo

$$\left(3y-5\right)\left(2y+5\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 6y^{2}+ay+by-25. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=5 ab=6\left(-25\right)=-150$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -150.

$$-1,150 -2,75 -3,50 -5,30 -6,25 -10,15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+150=149 -2+75=73 -3+50=47 -5+30=25 -6+25=19 -10+15=5$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 5.

$$a=-10 b=15$$

Rishkruaj 6y^{2}+5y-25 si \left(6y^{2}-10y\right)+\left(15y-25\right).

$$\left(6y^{2}-10y\right)+\left(15y-25\right)$$

Faktorizo 2y në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$2y\left(3y-5\right)+5\left(3y-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3y-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3y-5\right)\left(2y+5\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$6y^{2}+5y-25=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6\left(-25\right)}}{2\times 6}$$

Ngri në fuqi të dytë 5.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6\left(-25\right)}}{2\times 6}$$

Shumëzo -4 herë 6.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-24\left(-25\right)}}{2\times 6}$$

Shumëzo -24 herë -25.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+600}}{2\times 6}$$

Mblidh 25 me 600.

$$y=\frac{-5±\sqrt{625}}{2\times 6}$$

Gjej rrënjën katrore të 625.

$$y=\frac{-5±25}{2\times 6}$$

Shumëzo 2 herë 6.

$$y=\frac{-5±25}{12}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-5±25}{12} kur ± është plus. Mblidh -5 me 25.

$$y=\frac{20}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{20}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$y=\frac{5}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{-5±25}{12} kur ± është minus. Zbrit 25 nga -5.

$$y=-\frac{30}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-30}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{5}{3} për x_{1} dhe -\frac{5}{2} për x_{2}.

$$6y^{2}+5y-25=6\left(y-\frac{5}{3}\right)\left(y-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$6y^{2}+5y-25=6\left(y-\frac{5}{3}\right)\left(y+\frac{5}{2}\right)$$

Zbrit \frac{5}{3} nga y duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$6y^{2}+5y-25=6\times \frac{3y-5}{3}\left(y+\frac{5}{2}\right)$$

Mblidh \frac{5}{2} me y duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$6y^{2}+5y-25=6\times \frac{3y-5}{3}\times \frac{2y+5}{2}$$

Shumëzo \frac{3y-5}{3} herë \frac{2y+5}{2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$6y^{2}+5y-25=6\times \frac{\left(3y-5\right)\left(2y+5\right)}{3\times 2}$$

Shumëzo 3 herë 2.

$$6y^{2}+5y-25=6\times \frac{\left(3y-5\right)\left(2y+5\right)}{6}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 6 në 6 dhe 6.

$$6y^{2}+5y-25=\left(3y-5\right)\left(2y+5\right)$$

Vlerëso

$$\left(3y-5\right)\left(2y+5\right)$$