Zgjidh 5y^2-3y-36=0

$$5 y ^ { 2 } - 3 y - 36 = 0$$

Gjej y

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2.4$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 5y^{2}+ay+by-36. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-3 ab=5\left(-36\right)=-180$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -3.

$$a=-15 b=12$$

Rishkruaj 5y^{2}-3y-36 si \left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)$$

Faktorizo 5y në grupin e parë dhe 12 në të dytin.

$$5y\left(y-3\right)+12\left(y-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët y-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(y-3\right)\left(5y+12\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh y-3=0 dhe 5y+12=0.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 5, b me -3 dhe c me -36 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Ngri në fuqi të dytë -3.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Shumëzo -4 herë 5.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Shumëzo -20 herë -36.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2\times 5}$$

Mblidh 9 me 720.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

Gjej rrënjën katrore të 729.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±27}{2\times 5}$$

E kundërta e -3 është 3.

$$y=\frac{3±27}{2\times 5}$$

Shumëzo 2 herë 5.

$$y=\frac{3±27}{10}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{3±27}{10} kur ± është plus. Mblidh 3 me 27.

$$y=\frac{30}{10}$$

Pjesëto 30 me 10.

$$y=3$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{3±27}{10} kur ± është minus. Zbrit 27 nga 3.

$$y=-\frac{24}{10}$$

Thjeshto thyesën \frac{-24}{10} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=-\frac{12}{5}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Mblidh 36 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5y^{2}-3y-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Zbritja e -36 nga vetja e tij jep 0.

$$5y^{2}-3y=-\left(-36\right)$$

Zbrit -36 nga 0.

$$5y^{2}-3y=36$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$\frac{5y^{2}-3y}{5}=\frac{36}{5}$$

Pjesëtimi me 5 zhbën shumëzimin me 5.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=\frac{36}{5}$$

Pjesëto -\frac{3}{5}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{3}{10}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{3}{10} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{36}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{3}{10} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{36}{5}+\frac{9}{100}$$

Mblidh \frac{36}{5} me \frac{9}{100} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{729}{100}$$

Faktori y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{729}{100}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{100}}$$

Thjeshto.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{27}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{27}{10}$$

Mblidh \frac{3}{10} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$