Zgjidh 49v^2+112v+64

$$49 v ^ { 2 } + 112 v + 64$$

Faktorizo

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 49v^{2}+av+bv+64. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=112 ab=49\times 64=3136$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 3136.

$$1,3136 2,1568 4,784 7,448 8,392 14,224 16,196 28,112 32,98 49,64 56,56$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+3136=3137 2+1568=1570 4+784=788 7+448=455 8+392=400 14+224=238 16+196=212 28+112=140 32+98=130 49+64=113 56+56=112$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 112.

$$a=56 b=56$$

Rishkruaj 49v^{2}+112v+64 si \left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right).

$$\left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right)$$

Faktorizo 7v në grupin e parë dhe 8 në të dytin.

$$7v\left(7v+8\right)+8\left(7v+8\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 7v+8 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(49v^{2}+112v+64)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(49,112,64)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 49v^{2}.

$$\sqrt{49v^{2}}=7v$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së fundit, 64.

$$\sqrt{64}=8$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$49v^{2}+112v+64=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$v=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

Ngri në fuqi të dytë 112.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

Shumëzo -4 herë 49.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-196\times 64}}{2\times 49}$$

Shumëzo -196 herë 64.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-12544}}{2\times 49}$$

Mblidh 12544 me -12544.

$$v=\frac{-112±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$v=\frac{-112±0}{2\times 49}$$

Shumëzo 2 herë 49.

$$v=\frac{-112±0}{98}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{8}{7} për x_{1} dhe -\frac{8}{7} për x_{2}.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v+\frac{8}{7}\right)\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

Mblidh \frac{8}{7} me v duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

Mblidh \frac{8}{7} me v duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\times \frac{7v+8}{7}$$

Shumëzo \frac{7v+8}{7} herë \frac{7v+8}{7} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{7\times 7}$$

Shumëzo 7 herë 7.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{49}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 49 në 49 dhe 49.

$$49v^{2}+112v+64=\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

Vlerëso

$$\left(7v+8\right)^{2}$$