Gjej x, y
x=5
y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6
Grafiku
Share
Kopjuar në clipboard
4x-5y=2,x+10y=41
Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.
4x-5y=2
Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.
4x=5y+2
Mblidh 5y në të dyja anët e ekuacionit.
x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)
Pjesëto të dyja anët me 4.
x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}
Shumëzo \frac{1}{4} herë 5y+2.
\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41
Zëvendëso x me \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} në ekuacionin tjetër, x+10y=41.
\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41
Mblidh \frac{5y}{4} me 10y.
\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}
Zbrit \frac{1}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.
y=\frac{18}{5}
Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{45}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.
x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}
Zëvendëso y me \frac{18}{5} në x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
x=\frac{9+1}{2}
Shumëzo \frac{5}{4} herë \frac{18}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.
x=5
Mblidh \frac{1}{2} me \frac{9}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.
x=5,y=\frac{18}{5}
Sistemi është zgjidhur tani.
4x-5y=2,x+10y=41
Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.
\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)
Shkruaj ekuacionet në formë matrice.
inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)
Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)
Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)
Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)
Shumëzo matricat.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)
Bëj veprimet.
x=5,y=\frac{18}{5}
Nxirr elementet e matricës x dhe y.
4x-5y=2,x+10y=41
Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.
4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41
Për ta bërë 4x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.
4x-5y=2,4x+40y=164
Thjeshto.
4x-4x-5y-40y=2-164
Zbrit 4x+40y=164 nga 4x-5y=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.
-5y-40y=2-164
Mblidh 4x me -4x. Shprehjet 4x dhe -4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.
-45y=2-164
Mblidh -5y me -40y.
-45y=-162
Mblidh 2 me -164.
y=\frac{18}{5}
Pjesëto të dyja anët me -45.
x+10\times \frac{18}{5}=41
Zëvendëso y me \frac{18}{5} në x+10y=41. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.
x+36=41
Shumëzo 10 herë \frac{18}{5}.
x=5
Zbrit 36 nga të dyja anët e ekuacionit.
x=5,y=\frac{18}{5}
Sistemi është zgjidhur tani.
Shembuj
Ekuacioni quadratik
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometria
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ekuacioni linear
y = 3x + 4
Aritmetika
699 * 533
Matrica
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ekuacioni i njëkohshëm
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferencimi
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integrimi
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Limitet
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}