Zgjidh 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Gjej x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=2$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 21 nga të dyja anët.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Zbrit 21 nga 1 për të marrë -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 2x^{2}+ax+bx-10. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 1.

$$a=-4 b=5$$

Rishkruaj 2x^{2}+x-10 si \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-2=0 dhe 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Zbrit 21 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Zbritja e 21 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Zbrit 21 nga 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me 2 dhe c me -20 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Mblidh 4 me 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-2±18}{8} kur ± është plus. Mblidh -2 me 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Pjesëto 16 me 8.

$$x=2$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-2±18}{8} kur ± është minus. Zbrit 18 nga -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{-20}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Zbritja e 1 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Zbrit 1 nga 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{2}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Pjesëto 20 me 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Pjesëto \frac{1}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{1}{4}. Më pas mblidh katrorin e \frac{1}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{1}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Mblidh 5 me \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktori x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Zbrit \frac{1}{4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$