Zgjidh 4x^2-12x-7=0

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Gjej x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 4x^{2}+ax+bx-7. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -12.

$$a=-14 b=2$$

Rishkruaj 4x^{2}-12x-7 si \left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Faktorizo 2x në 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-7 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-7=0 dhe 2x+1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -12 dhe c me -7 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Mblidh 144 me 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

E kundërta e -12 është 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{12±16}{8} kur ± është plus. Mblidh 12 me 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{28}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{12±16}{8} kur ± është minus. Zbrit 16 nga 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Thjeshto thyesën \frac{-4}{8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Mblidh 7 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Zbritja e -7 nga vetja e tij jep 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Zbrit -7 nga 0.

$$4x^{2}-12x=7$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

Pjesëtimi me 4 zhbën shumëzimin me 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

Pjesëto -12 me 4.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

Pjesëto -3, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{3}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{3}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{3}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Mblidh \frac{7}{4} me \frac{9}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

Faktori x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Mblidh \frac{3}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$