Zgjidh 36x^2-84x+49

$$36 { x }^{ 2 } -84x+49$$

Faktorizo

$$\left(6x-7\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 36x^{2}+ax+bx+49. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-84 ab=36\times 49=1764$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 1764.

$$-1,-1764 -2,-882 -3,-588 -4,-441 -6,-294 -7,-252 -9,-196 -12,-147 -14,-126 -18,-98 -21,-84 -28,-63 -36,-49 -42,-42$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-1764=-1765 -2-882=-884 -3-588=-591 -4-441=-445 -6-294=-300 -7-252=-259 -9-196=-205 -12-147=-159 -14-126=-140 -18-98=-116 -21-84=-105 -28-63=-91 -36-49=-85 -42-42=-84$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -84.

$$a=-42 b=-42$$

Rishkruaj 36x^{2}-84x+49 si \left(36x^{2}-42x\right)+\left(-42x+49\right).

$$\left(36x^{2}-42x\right)+\left(-42x+49\right)$$

Faktorizo 6x në grupin e parë dhe -7 në të dytin.

$$6x\left(6x-7\right)-7\left(6x-7\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 6x-7 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(6x-7\right)\left(6x-7\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(6x-7\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(36x^{2}-84x+49)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(36,-84,49)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 36x^{2}.

$$\sqrt{36x^{2}}=6x$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së fundit, 49.

$$\sqrt{49}=7$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(6x-7\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$36x^{2}-84x+49=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{\left(-84\right)^{2}-4\times 36\times 49}}{2\times 36}$$

Ngri në fuqi të dytë -84.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-4\times 36\times 49}}{2\times 36}$$

Shumëzo -4 herë 36.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-144\times 49}}{2\times 36}$$

Shumëzo -144 herë 49.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-7056}}{2\times 36}$$

Mblidh 7056 me -7056.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{0}}{2\times 36}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±0}{2\times 36}$$

E kundërta e -84 është 84.

$$x=\frac{84±0}{2\times 36}$$

Shumëzo 2 herë 36.

$$x=\frac{84±0}{72}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{7}{6} për x_{1} dhe \frac{7}{6} për x_{2}.

$$36x^{2}-84x+49=36\left(x-\frac{7}{6}\right)\left(x-\frac{7}{6}\right)$$

Zbrit \frac{7}{6} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$36x^{2}-84x+49=36\times \frac{6x-7}{6}\left(x-\frac{7}{6}\right)$$

Zbrit \frac{7}{6} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$36x^{2}-84x+49=36\times \frac{6x-7}{6}\times \frac{6x-7}{6}$$

Shumëzo \frac{6x-7}{6} herë \frac{6x-7}{6} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$36x^{2}-84x+49=36\times \frac{\left(6x-7\right)\left(6x-7\right)}{6\times 6}$$

Shumëzo 6 herë 6.

$$36x^{2}-84x+49=36\times \frac{\left(6x-7\right)\left(6x-7\right)}{36}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 36 në 36 dhe 36.

$$36x^{2}-84x+49=\left(6x-7\right)\left(6x-7\right)$$

Vlerëso

$$\left(6x-7\right)^{2}$$