Zgjidh 32m^2-68m+35

$$32 m ^ { 2 } - 68 m + 35$$

Faktorizo

$$\left(4m-5\right)\left(8m-7\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 32m^{2}+am+bm+35. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-68 ab=32\times 35=1120$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 1120.

$$-1,-1120 -2,-560 -4,-280 -5,-224 -7,-160 -8,-140 -10,-112 -14,-80 -16,-70 -20,-56 -28,-40 -32,-35$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-1120=-1121 -2-560=-562 -4-280=-284 -5-224=-229 -7-160=-167 -8-140=-148 -10-112=-122 -14-80=-94 -16-70=-86 -20-56=-76 -28-40=-68 -32-35=-67$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -68.

$$a=-40 b=-28$$

Rishkruaj 32m^{2}-68m+35 si \left(32m^{2}-40m\right)+\left(-28m+35\right).

$$\left(32m^{2}-40m\right)+\left(-28m+35\right)$$

Faktorizo 8m në grupin e parë dhe -7 në të dytin.

$$8m\left(4m-5\right)-7\left(4m-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 4m-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(4m-5\right)\left(8m-7\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$32m^{2}-68m+35=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$m=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 32\times 35}}{2\times 32}$$

Ngri në fuqi të dytë -68.

$$m=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-4\times 32\times 35}}{2\times 32}$$

Shumëzo -4 herë 32.

$$m=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-128\times 35}}{2\times 32}$$

Shumëzo -128 herë 35.

$$m=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-4480}}{2\times 32}$$

Mblidh 4624 me -4480.

$$m=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{144}}{2\times 32}$$

Gjej rrënjën katrore të 144.

$$m=\frac{-\left(-68\right)±12}{2\times 32}$$

E kundërta e -68 është 68.

$$m=\frac{68±12}{2\times 32}$$

Shumëzo 2 herë 32.

$$m=\frac{68±12}{64}$$

Tani zgjidhe ekuacionin m=\frac{68±12}{64} kur ± është plus. Mblidh 68 me 12.

$$m=\frac{80}{64}$$

Thjeshto thyesën \frac{80}{64} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 16.

$$m=\frac{5}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin m=\frac{68±12}{64} kur ± është minus. Zbrit 12 nga 68.

$$m=\frac{56}{64}$$

Thjeshto thyesën \frac{56}{64} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$m=\frac{7}{8}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{5}{4} për x_{1} dhe \frac{7}{8} për x_{2}.

$$32m^{2}-68m+35=32\left(m-\frac{5}{4}\right)\left(m-\frac{7}{8}\right)$$

Zbrit \frac{5}{4} nga m duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$32m^{2}-68m+35=32\times \frac{4m-5}{4}\left(m-\frac{7}{8}\right)$$

Zbrit \frac{7}{8} nga m duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$32m^{2}-68m+35=32\times \frac{4m-5}{4}\times \frac{8m-7}{8}$$

Shumëzo \frac{4m-5}{4} herë \frac{8m-7}{8} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$32m^{2}-68m+35=32\times \frac{\left(4m-5\right)\left(8m-7\right)}{4\times 8}$$

Shumëzo 4 herë 8.

$$32m^{2}-68m+35=32\times \frac{\left(4m-5\right)\left(8m-7\right)}{32}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 32 në 32 dhe 32.

$$32m^{2}-68m+35=\left(4m-5\right)\left(8m-7\right)$$

Vlerëso

$$\left(4m-5\right)\left(8m-7\right)$$