Zgjidh 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Faktorizo

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Shumëzo dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Për të faktorizuar shprehjen, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -16 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 3. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=-4$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 me x+4 për të marrë 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Për të faktorizuar rezultatin, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -4 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 3. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=-4$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto 3x^{3}+12x^{2}-x-4 me x+4 për të marrë 3x^{2}-1. Për të faktorizuar rezultatin, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 3 për a, 0 për b dhe -1 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Zgjidh ekuacionin 3x^{2}-1=0 kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar duke përdorur rrënjët e përfituara. Polinomi 3x^{2}-1 nuk është faktorizuar pasi nuk ka asnjë rrënjë racionale.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Vlerëso

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Kombino 48x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$