Zgjidh 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=1$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx-11. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -33.

$$-1,33 -3,11$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 8.

$$a=-3 b=11$$

Rishkruaj 3x^{2}+8x-11 si \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe 11 në të dytin.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-1=0 dhe 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me 8 dhe c me -11 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Mblidh 64 me 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-8±14}{6} kur ± është plus. Mblidh -8 me 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Pjesëto 6 me 6.

$$x=1$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-8±14}{6} kur ± është minus. Zbrit 14 nga -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{-22}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Mblidh 11 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Zbritja e -11 nga vetja e tij jep 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Zbrit -11 nga 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Pjesëto \frac{8}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{4}{3}. Më pas mblidh katrorin e \frac{4}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{4}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Mblidh \frac{11}{3} me \frac{16}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktori x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Zbrit \frac{4}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$