Zgjidh 3x^2+23x-8=0

$$3 x ^ { 2 } + 23 x - 8 = 0$$

Gjej x

$$x=-8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx-8. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=23 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 23.

$$a=-1 b=24$$

Rishkruaj 3x^{2}+23x-8 si \left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 8 në të dytin.

$$x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-1\right)\left(x+8\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x-1=0 dhe x+8=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me 23 dhe c me -8 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -8.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+96}}{2\times 3}$$

Mblidh 529 me 96.

$$x=\frac{-23±\sqrt{625}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 625.

$$x=\frac{-23±25}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{-23±25}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-23±25}{6} kur ± është plus. Mblidh -23 me 25.

$$x=\frac{2}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{2}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-23±25}{6} kur ± është minus. Zbrit 25 nga -23.

$$x=-\frac{48}{6}$$

Pjesëto -48 me 6.

$$x=-8$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x^{2}+23x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Zbritja e -8 nga vetja e tij jep 0.

$$3x^{2}+23x=-\left(-8\right)$$

Zbrit -8 nga 0.

$$3x^{2}+23x=8$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}+23x}{3}=\frac{8}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x=\frac{8}{3}$$

Pjesëto \frac{23}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{23}{6}. Më pas mblidh katrorin e \frac{23}{6} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{23}{6} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{8}{3}+\frac{529}{36}$$

Mblidh \frac{8}{3} me \frac{529}{36} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{625}{36}$$

Faktori x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{625}{36}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{36}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{23}{6}=\frac{25}{6} x+\frac{23}{6}=-\frac{25}{6}$$

Zbrit \frac{23}{6} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$