Zgjidh 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Gjej r

$$r=3$$

$$r=5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Shto 45 në të dyja anët.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si r^{2}+ar+br+15. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -8.

$$a=-5 b=-3$$

Rishkruaj r^{2}-8r+15 si \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Faktorizo r në grupin e parë dhe -3 në të dytin.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët r-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh r-5=0 dhe r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Mblidh 45 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Zbritja e -45 nga vetja e tij jep 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Zbrit -45 nga 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me -24 dhe c me 45 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Mblidh 576 me -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

E kundërta e -24 është 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin r=\frac{24±6}{6} kur ± është plus. Mblidh 24 me 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Pjesëto 30 me 6.

$$r=5$$

Tani zgjidhe ekuacionin r=\frac{24±6}{6} kur ± është minus. Zbrit 6 nga 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Pjesëto 18 me 6.

$$r=3$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$r=5 r=3$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Pjesëto -24 me 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Pjesëto -45 me 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Pjesëto -8, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -4. Më pas mblidh katrorin e -4 në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Mblidh -15 me 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Faktori r^{2}-8r+16. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Thjeshto.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Mblidh 4 në të dyja anët e ekuacionit.

$$r=5 r=3$$