Zgjidh 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Gjej n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 1141 nga të dyja anët.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Zbrit 1141 nga 1 për të marrë -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si n^{2}+an+bn-380. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 1.

$$a=-19 b=20$$

Rishkruaj n^{2}+n-380 si \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Faktorizo n në grupin e parë dhe 20 në të dytin.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët n-19 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-19=0 dhe n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Zbrit 1141 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Zbritja e 1141 nga vetja e tij jep 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Zbrit 1141 nga 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me 3 dhe c me -1140 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Mblidh 9 me 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-3±117}{6} kur ± është plus. Mblidh -3 me 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Pjesëto 114 me 6.

$$n=19$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-3±117}{6} kur ± është minus. Zbrit 117 nga -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Pjesëto -120 me 6.

$$n=-20$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=19 n=-20$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Zbritja e 1 nga vetja e tij jep 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Zbrit 1 nga 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Pjesëto 3 me 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Pjesëto 1140 me 3.

$$n^{2}+n=380$$

Pjesëto 1, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{1}{2}. Më pas mblidh katrorin e \frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{1}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Mblidh 380 me \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Faktori n^{2}+n+\frac{1}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Thjeshto.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Zbrit \frac{1}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$n=19 n=-20$$