Zgjidh 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Gjej y

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 25y^{2}+ay+by-63. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -54.

$$a=-75 b=21$$

Rishkruaj 25y^{2}-54y-63 si \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Faktorizo 25y në grupin e parë dhe 21 në të dytin.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët y-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh y-3=0 dhe 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 25, b me -54 dhe c me -63 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Ngri në fuqi të dytë -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Shumëzo -4 herë 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Shumëzo -100 herë -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Mblidh 2916 me 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Gjej rrënjën katrore të 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

E kundërta e -54 është 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Shumëzo 2 herë 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{54±96}{50} kur ± është plus. Mblidh 54 me 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Pjesëto 150 me 50.

$$y=3$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{54±96}{50} kur ± është minus. Zbrit 96 nga 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Thjeshto thyesën \frac{-42}{50} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Mblidh 63 në të dyja anët e ekuacionit.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Zbritja e -63 nga vetja e tij jep 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Zbrit -63 nga 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Pjesëto të dyja anët me 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Pjesëtimi me 25 zhbën shumëzimin me 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Pjesëto -\frac{54}{25}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{27}{25}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{27}{25} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{27}{25} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Mblidh \frac{63}{25} me \frac{729}{625} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Faktori y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Thjeshto.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Mblidh \frac{27}{25} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$