Zgjidh 24x^2+10x-21

$$24 { x }^{ 2 } +10x-21$$

Faktorizo

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 24x^{2}+ax+bx-21. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=10 ab=24\left(-21\right)=-504$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -504.

$$-1,504 -2,252 -3,168 -4,126 -6,84 -7,72 -8,63 -9,56 -12,42 -14,36 -18,28 -21,24$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+504=503 -2+252=250 -3+168=165 -4+126=122 -6+84=78 -7+72=65 -8+63=55 -9+56=47 -12+42=30 -14+36=22 -18+28=10 -21+24=3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 10.

$$a=-18 b=28$$

Rishkruaj 24x^{2}+10x-21 si \left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right).

$$\left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right)$$

Faktorizo 6x në grupin e parë dhe 7 në të dytin.

$$6x\left(4x-3\right)+7\left(4x-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 4x-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+10x-21=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Ngri në fuqi të dytë 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Shumëzo -4 herë 24.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Shumëzo -96 herë -21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+2016}}{2\times 24}$$

Mblidh 100 me 2016.

$$x=\frac{-10±\sqrt{2116}}{2\times 24}$$

Gjej rrënjën katrore të 2116.

$$x=\frac{-10±46}{2\times 24}$$

Shumëzo 2 herë 24.

$$x=\frac{-10±46}{48}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-10±46}{48} kur ± është plus. Mblidh -10 me 46.

$$x=\frac{36}{48}$$

Thjeshto thyesën \frac{36}{48} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-10±46}{48} kur ± është minus. Zbrit 46 nga -10.

$$x=-\frac{56}{48}$$

Thjeshto thyesën \frac{-56}{48} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$x=-\frac{7}{6}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{3}{4} për x_{1} dhe -\frac{7}{6} për x_{2}.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{7}{6}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Zbrit \frac{3}{4} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Mblidh \frac{7}{6} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{6x+7}{6}$$

Shumëzo \frac{4x-3}{4} herë \frac{6x+7}{6} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{4\times 6}$$

Shumëzo 4 herë 6.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{24}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 24 në 24 dhe 24.

$$24x^{2}+10x-21=\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Vlerëso

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$