Zgjidh 200=-3n^2+49n

$$200 = - 3 n ^ { 2 } + 49 n$$

Gjej n

$$n=8$$

$$n = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$-3n^{2}+49n=200$$

Zbrit 200 nga të dyja anët.

$$-3n^{2}+49n-200=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -3n^{2}+an+bn-200. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=49 ab=-3\left(-200\right)=600$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 600.

$$1,600 2,300 3,200 4,150 5,120 6,100 8,75 10,60 12,50 15,40 20,30 24,25$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+600=601 2+300=302 3+200=203 4+150=154 5+120=125 6+100=106 8+75=83 10+60=70 12+50=62 15+40=55 20+30=50 24+25=49$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 49.

$$a=25 b=24$$

Rishkruaj -3n^{2}+49n-200 si \left(-3n^{2}+25n\right)+\left(24n-200\right).

$$\left(-3n^{2}+25n\right)+\left(24n-200\right)$$

Faktorizo -n në grupin e parë dhe 8 në të dytin.

$$-n\left(3n-25\right)+8\left(3n-25\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3n-25 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3n-25\right)\left(-n+8\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3n-25=0 dhe -n+8=0.

$$n=\frac{25}{3} n=8$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$-3n^{2}+49n=200$$

Zbrit 200 nga të dyja anët.

$$-3n^{2}+49n-200=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -3, b me 49 dhe c me -200 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\left(-3\right)\left(-200\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 49.

$$n=\frac{-49±\sqrt{2401-4\left(-3\right)\left(-200\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Shumëzo -4 herë -3.

$$n=\frac{-49±\sqrt{2401+12\left(-200\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Shumëzo 12 herë -200.

$$n=\frac{-49±\sqrt{2401-2400}}{2\left(-3\right)}$$

Mblidh 2401 me -2400.

$$n=\frac{-49±\sqrt{1}}{2\left(-3\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 1.

$$n=\frac{-49±1}{2\left(-3\right)}$$

Shumëzo 2 herë -3.

$$n=\frac{-49±1}{-6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-49±1}{-6} kur ± është plus. Mblidh -49 me 1.

$$n=-\frac{48}{-6}$$

Pjesëto -48 me -6.

$$n=8$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-49±1}{-6} kur ± është minus. Zbrit 1 nga -49.

$$n=-\frac{50}{-6}$$

Thjeshto thyesën \frac{-50}{-6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$n=\frac{25}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=8 n=\frac{25}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$-3n^{2}+49n=200$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$\frac{-3n^{2}+49n}{-3}=\frac{200}{-3}$$

Pjesëtimi me -3 zhbën shumëzimin me -3.

$$n^{2}+\frac{49}{-3}n=\frac{200}{-3}$$

Pjesëto 49 me -3.

$$n^{2}-\frac{49}{3}n=\frac{200}{-3}$$

Pjesëto 200 me -3.

$$n^{2}-\frac{49}{3}n=-\frac{200}{3}$$

Pjesëto -\frac{49}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{49}{6}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{49}{6} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}-\frac{49}{3}n+\left(-\frac{49}{6}\right)^{2}=-\frac{200}{3}+\left(-\frac{49}{6}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{49}{6} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}-\frac{49}{3}n+\frac{2401}{36}=-\frac{200}{3}+\frac{2401}{36}$$

Mblidh -\frac{200}{3} me \frac{2401}{36} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$n^{2}-\frac{49}{3}n+\frac{2401}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktori n^{2}-\frac{49}{3}n+\frac{2401}{36}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{49}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n-\frac{49}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Thjeshto.

$$n-\frac{49}{6}=\frac{1}{6} n-\frac{49}{6}=-\frac{1}{6}$$

Mblidh \frac{49}{6} në të dyja anët e ekuacionit.

$$n=\frac{25}{3} n=8$$