Zgjidh 2x^2+23x+51

$$2 x ^ { 2 } + 23 x + 51$$

Faktorizo

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 2x^{2}+ax+bx+51. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=23 ab=2\times 51=102$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 102.

$$1,102 2,51 3,34 6,17$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+102=103 2+51=53 3+34=37 6+17=23$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 23.

$$a=6 b=17$$

Rishkruaj 2x^{2}+23x+51 si \left(2x^{2}+6x\right)+\left(17x+51\right).

$$\left(2x^{2}+6x\right)+\left(17x+51\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 17 në të dytin.

$$2x\left(x+3\right)+17\left(x+3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x+3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+23x+51=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 2\times 51}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 2\times 51}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-8\times 51}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë 51.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-408}}{2\times 2}$$

Mblidh 529 me -408.

$$x=\frac{-23±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 121.

$$x=\frac{-23±11}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=\frac{-23±11}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-23±11}{4} kur ± është plus. Mblidh -23 me 11.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Pjesëto -12 me 4.

$$x=-3$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-23±11}{4} kur ± është minus. Zbrit 11 nga -23.

$$x=-\frac{34}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-34}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{17}{2}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -3 për x_{1} dhe -\frac{17}{2} për x_{2}.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x-\left(-3\right)\right)\left(x-\left(-\frac{17}{2}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x+3\right)\left(x+\frac{17}{2}\right)$$

Mblidh \frac{17}{2} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$2x^{2}+23x+51=2\left(x+3\right)\times \frac{2x+17}{2}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 2 në 2 dhe 2.

$$2x^{2}+23x+51=\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$

Vlerëso

$$\left(x+3\right)\left(2x+17\right)$$