Zgjidh 2(3x-4)^2+1=9

$$2 ( 3 x - 4 ) ^ { 2 } + 1 = 9$$

Gjej x

$$x=2$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(3x-4\right)^{2}.

$$2\left(9x^{2}-24x+16\right)+1=9$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 9x^{2}-24x+16.

$$18x^{2}-48x+32+1=9$$

Shto 32 dhe 1 për të marrë 33.

$$18x^{2}-48x+33=9$$

Zbrit 9 nga të dyja anët.

$$18x^{2}-48x+33-9=0$$

Zbrit 9 nga 33 për të marrë 24.

$$18x^{2}-48x+24=0$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$3x^{2}-8x+4=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx+4. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-8 ab=3\times 4=12$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -8.

$$a=-6 b=-2$$

Rishkruaj 3x^{2}-8x+4 si \left(3x^{2}-6x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe -2 në të dytin.

$$3x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-2\right)\left(3x-2\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-2=0 dhe 3x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(3x-4\right)^{2}.

$$2\left(9x^{2}-24x+16\right)+1=9$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 9x^{2}-24x+16.

$$18x^{2}-48x+32+1=9$$

Shto 32 dhe 1 për të marrë 33.

$$18x^{2}-48x+33=9$$

Zbrit 9 nga të dyja anët.

$$18x^{2}-48x+33-9=0$$

Zbrit 9 nga 33 për të marrë 24.

$$18x^{2}-48x+24=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 18, b me -48 dhe c me 24 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 18\times 24}}{2\times 18}$$

Ngri në fuqi të dytë -48.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 18\times 24}}{2\times 18}$$

Shumëzo -4 herë 18.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-72\times 24}}{2\times 18}$$

Shumëzo -72 herë 24.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-1728}}{2\times 18}$$

Mblidh 2304 me -1728.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{576}}{2\times 18}$$

Gjej rrënjën katrore të 576.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±24}{2\times 18}$$

E kundërta e -48 është 48.

$$x=\frac{48±24}{2\times 18}$$

Shumëzo 2 herë 18.

$$x=\frac{48±24}{36}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{48±24}{36} kur ± është plus. Mblidh 48 me 24.

$$x=\frac{72}{36}$$

Pjesëto 72 me 36.

$$x=2$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{48±24}{36} kur ± është minus. Zbrit 24 nga 48.

$$x=\frac{24}{36}$$

Thjeshto thyesën \frac{24}{36} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 12.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=2 x=\frac{2}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(3x-4\right)^{2}.

$$2\left(9x^{2}-24x+16\right)+1=9$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 9x^{2}-24x+16.

$$18x^{2}-48x+32+1=9$$

Shto 32 dhe 1 për të marrë 33.

$$18x^{2}-48x+33=9$$

Zbrit 33 nga të dyja anët.

$$18x^{2}-48x=9-33$$

Zbrit 33 nga 9 për të marrë -24.

$$18x^{2}-48x=-24$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$\frac{18x^{2}-48x}{18}=-\frac{24}{18}$$

Pjesëtimi me 18 zhbën shumëzimin me 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{48}{18}\right)x=-\frac{24}{18}$$

Thjeshto thyesën \frac{-48}{18} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{24}{18}$$

Thjeshto thyesën \frac{-24}{18} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Pjesëto -\frac{8}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{4}{3}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{4}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{4}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{16}{9}$$

Mblidh -\frac{4}{3} me \frac{16}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktori x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}$$

Mblidh \frac{4}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=2 x=\frac{2}{3}$$