Zgjidh 2x^2-7x-15

$$2 { x }^{ 2 } -7x-15$$

Faktorizo

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 2x^{2}+ax+bx-15. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -7.

$$a=-10 b=3$$

Rishkruaj 2x^{2}-7x-15 si \left(2x^{2}-10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(2x^{2}-10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$2x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-7x-15=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë -15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Mblidh 49 me 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 2}$$

E kundërta e -7 është 7.

$$x=\frac{7±13}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=\frac{7±13}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{7±13}{4} kur ± është plus. Mblidh 7 me 13.

$$x=\frac{20}{4}$$

Pjesëto 20 me 4.

$$x=5$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{7±13}{4} kur ± është minus. Zbrit 13 nga 7.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-6}{4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso 5 për x_{1} dhe -\frac{3}{2} për x_{2}.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Mblidh \frac{3}{2} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 2 në 2 dhe 2.

$$2x^{2}-7x-15=\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Vlerëso

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$