Zgjidh 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

Gjej x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 12x^{2}+ax+bx-7. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 17.

$$a=-4 b=21$$

Rishkruaj 12x^{2}+17x-7 si \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

Faktorizo 4x në grupin e parë dhe 7 në të dytin.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-1 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x-1=0 dhe 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 12, b me 17 dhe c me -7 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Ngri në fuqi të dytë 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Shumëzo -4 herë 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Shumëzo -48 herë -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

Mblidh 289 me 336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Gjej rrënjën katrore të 625.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

Shumëzo 2 herë 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-17±25}{24} kur ± është plus. Mblidh -17 me 25.

$$x=\frac{8}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{8}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-17±25}{24} kur ± është minus. Zbrit 25 nga -17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

Thjeshto thyesën \frac{-42}{24} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Mblidh 7 në të dyja anët e ekuacionit.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Zbritja e -7 nga vetja e tij jep 0.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

Zbrit -7 nga 0.

$$12x^{2}+17x=7$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

Pjesëtimi me 12 zhbën shumëzimin me 12.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

Pjesëto \frac{17}{12}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{17}{24}. Më pas mblidh katrorin e \frac{17}{24} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{17}{24} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

Mblidh \frac{7}{12} me \frac{289}{576} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Faktori x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

Zbrit \frac{17}{24} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$